|
Logikövning 1
| |
Satsvariabler
Satslogiken bygger på en atomistisk syn på språket. Man utgår
från så kallade elementarsatser eller satsatomer och sådana ska
uttrycka ett enkelt sakförhållande, d.v.s. något faktiskt. Dessa
elementarsatser ersätts av bokstäver som kan stå för vilka satser som helst, de kallas
därför satsvariabler. Om du är bekant med ekvationslösning känner du
till att x och y är variabler, eller obekanta, eftersom de just kan stå för
vilket tal som
helst. De variabler som används inom satslogiken är:
 | p, q, r, s, t |
Behöver du fler använder du:
| p¹, q¹, r¹ etc. |
Två elementarsatser:
| p (vädret är vackert) |
| q (solen skiner) |
kan sättas samman och avbilda ett sammansatt sakläge:
| p Ù q (vädret är vackert och solen skiner) |
Konnektiv
Konjunktionstecknet står alltid för "och" och är således en
konstant.
Vid sidan av satsvariablerna använder sig satslogiken således av konstanter och dessa
kallas konnektiv eftersom de är bindeord, som fogar
samman elementarsatserna. Konnektiven är:
| inte |
- |
| och |
Ù (eller
&) |
| eller |
v |
| om - så |
Þ |
| om och endast om |
Û |
Exempel:
| Solen skiner |
p |
| Solen skiner inte |
-p |
| Det snöar och regnar |
p Ù q/p&q |
| Det snöar eller regnar |
p v q |
| Om du fortsätter så klarnar det |
p Þ q |
| Om och endast om du fortsätter så klarnar det/Omm
du fortsätter så klarnar det |
p Û q |
Översättningsproblem:
Det satslogiska språket är inte så nyanserat som de naturliga språken. Därför
måste man förenkla dessa när man översätter till satslogiskt språk. Några
förenklingar:
| Räkningen är obetald |
- p |
| Hon är intolerant |
- p |
| Han är vacker men fåfäng |
p Ù q |
| Han kom utan att hon märkte det |
p Ù - q |
| Maten var varken god eller nyttig |
- p Ù - q/-(p
v q) |
Att säga att "räkningen var obetald" är det samma som
att säga att "räkningen var inte betald". Prefixet "o" motsvarar
alltså negeringen "inte".
Säger man "Han är vacker men fåfäng" säger man
att han har de två egenskaperna (predikaten) att vara "vacker" och att
vara "fåfäng".
Om maten var "varken god eller nyttig" innebär det att den "inte
var god" och "inte var nyttig".
Sanningsfunktion
Den sammansatta satsen är en sanningsfunktion av elementarsatserna,
d.v.s. den är sann respektive falsk beroende på de
ingående elementarsatsernas sanning.
| Negationens sanningsvärdestabell är:
Här framgår det tydligt att sanningsvärdena endast
är två, nämligen S för sant och F för falskt.
Det betyder att det antingen är sant eller falskt
att det regnar. Det kan således inte samtidigt vara sant att det regnar och
inte regnar. Om det alltså är sant att "det regnar", så är det
falskt att det "inte regnar".
|
| Konjunktionens sanningsvärde fås efter
följande undersökning: |
p |
q |
p
Ù
q |
s |
s |
s |
s |
f |
f |
f |
s |
f |
f |
f |
f |
| Endast då både p och q är sanna
är hela konjunktionen sann |
Det betyder att hela satsen: "Han cyklar och tänker på
filosofi" endast är sann om det är sant att "han cyklar" och det är
sant att "han tänker på filosofi".
| Disjunktionens sanningsvärde blir det
omvända, men här måste åter en jämförelse med det naturliga språket ske. |
Det rymmer två möjligheter när det gäller eller:
| inklusivt – och / eller d.v.s. p
Ù q / p Ú q |
såsom när försäkringskassan meddelar att villkoret för erhållande av sjukförmån
är:
| "att vederbörande är svensk medborgare eller mantalsskriven i
landet" |
Här utesluter således det ena alternativet inte det
andra men båda behöver ej vara uppfyllda.
| exklusivt – antingen eller. |
Det ena alternativet utesluter det andra såsom då restauranggästen erbjuds :
| huvudrätt och dessutom förrätt eller dessert |
Av dessa båda betydelser motsvaras tecknet Ú
av den första, d.v.s. den inklusiva. Sanningsvärdet för disjunktionen
blir:
| p |
q |
p
Ú q |
| s |
s |
s |
| s |
f |
s |
| f |
s |
s |
| f |
f |
f |
| Endast då både p och q är falska är hela
disjunktionen falsk |
Vill man uttrycka den exklusiva disjunktionen får man skriva:
(p v q) Ù - (p Ù q)
Parentesen () används för att föra ihop de tecken som hör
samman.
Det betyder att om jag erbjuder att "du får cognac eller
whisky", så får du "cognac eller whisky" eller "både cognac och whisky". Man
kan alltså säga att om inte annat anges så gäller den generösa tolkningen i
logiken.
| p |
q |
p Þ q |
| s |
s |
s |
| s |
f |
f |
| f |
s |
s |
| f |
f |
s |
ex: Om du kommer till mötet så kommer jag också.
Vardagsspråket lägger ofta in en kausalitet i satser av denna typ,
d.v.s. att det ena förorsakar det andra.
ex: Om vatten är 100° C så kokar det.
D.v.s. om man tillför så mycket energi till vattnet att temperaturen stiger till 100° C, så ökar vattenmolekylernas rörelse så mycket att vattnet
börjar förångas, vilket sker då det kokar.
Någon sådan kausalitet är inte nödvändig för tecknet Þ
.
Tecknet visar endast på ett logiskt förhållande mellan p och q.
Det som står före Þ kallas förled och
det som står efter efterled.
Låt oss pröva implikationen:
Om du pluggar satslogik högst två timmar om dagen i en vecka klarar du provet.
p Þ q
Om p är sann och q är sann, d.v.s. du pluggar två timmar om dagen i en vecka och klarar
provet så är självklart implikationen sann.
Om du pluggar två timmar om dagen i en vecka men ändå inte klarar provet är
implikationen falsk, d.v.s. villkoret för att klara provet var inte
uttryckt i implikationen.
p Þ - q
Men hur blir det om du inte pluggar alls och ändå klarar provet? Alltså:
- p Þ q
Då har du ju inte prövat om den hypotes som
implikationen uttrycker är sann eller falsk såsom du gjort i de två tidigare exemplen.
Det har du inte heller gjort om du inte pluggar och inte
klarar provet:
- p Þ - q
Du kan inte säga att hypotesen är falsk om du inte prövat den. När det gäller
satslogiken måste du vara kategorisk. Du kan inte säga: Vet ej! Alltså får du lov att
säga sann. Det vill säga om du inte vet att implikationen är falsk får du
betrakta den som sann.
| Implikationen är endast falsk om förledet är
sant och efterledet falskt. |
| p |
q |
p Û q |
| s |
s |
s |
| s |
f |
f |
| f |
s |
f |
| f |
f |
s |
ex: Jag går dit om och endast om du följer med.
p Û q
Eftersom ekvivalensen säger att p och q är likvärda när det gäller sanningsvärde
är ekvivalensen sann när p och q har samma sanningsvärde.
(Observera att pilen pekar åt två håll. Det innebär
egentligen att ekvivalensen är en konjunktion av följande två implikationer:
(1) p Þ q
(2) q
Þ p
alltså
(p
Þ q)Ù(qÞ
p)
(2)
q Þ
p; alltså Endast om q så p får vi ur:
- p Þ -
q genom Modus Tollens)
Ska du skriva den logiska formeln för påståendet:
"Endast om det finns vatten, så finns det liv."
Så blir den alltså likadan som för:
"Om det inte finns vatten, så finns det inte liv."
Alltså:
- p Þ -
q
Om p står för "det finns vatten" och q för "det finns
liv".
Ekvivalensen fastslår att såväl
tillräckliga som
nödvändiga villkor föreligger
Om såväl förled som efterled är falsk, gäller som för implikationen ovan, du har
inte prövat den och kan därför inte avgöra om den är sann eller falsk, du vet inte,
och då väljer du "sann".
| Om leden i en ekvivalens har samma sanningsvärde
är ekvivalensen sann, annars falsk. |
Med hjälp av dessa sanningsvärdetabeller kan man avgöra sanningsvärdet för vilken
som helst sats som är sammansatt av de logiska tecknen.
Exempel: p Ú q
Þ r
| p |
q |
Ú |
|
p
Ú q |
r |
|
Þ |
|
s |
s |
s |
|
s |
s |
|
s |
|
s |
s |
s |
|
s |
f |
|
f |
|
s |
f |
s |
|
s |
s |
|
s |
|
s |
f |
s |
|
s |
f |
|
f |
|
f |
s |
s |
|
s |
s |
|
s |
|
f |
s |
s |
|
s |
f |
|
f |
|
f |
f |
f |
|
f |
s |
|
s |
|
f |
f |
f |
|
f |
f |
|
s |
Man går således stegvis fram,
(1) först prövar man disjunktionen
p v q
(2) sedan implikationen (p v q) Þ r
observera alltså att det som står under v i det gula fältet är samma som står
under p v q i det gröna fältet.
Tabell I (gul) visar disjunktionens sanningsfunktion.
Vänsterspalten i tabell II (grön) är högerspalten i tabell I
(gul) överförd.
Tabell II visar således implikationen mellan å ena sidan den sammansatta satsen
p Ú q och å andra sidan r.
Tabell III (röd) visar resultatet av denna sanningsfunktion och därmed hela den sammansatta
satsens sanningsvärde.
Ju mer sammansatt satsen är desto fler steg måste man ta för att avgöra den
sammansatta satsens sanningsvärde.
Man går därvidlag stegvis fram som exemplet visar.
Eftersom vi använde oss av tre variabler, p, q och r, så
fick vi sammanlagt åtta alternativ.
Lättast förstår man detta så här:
En variabel, p, har två sanningsvärden, S eller F.
Två variabler ger fyra kombinationsmöjligheter
Tre variabler ger åtta
Fyra variabler ger sexton
Principen blir att eftersom sanningsvärdena är 2,
så blir antalet kombinationer 2 gånger sig självt så många gånger som det
finns variabler:
2 variabler = 2 * 2 = 4
3 variabler = 2 * 2 * 2 = 8
4 variabler = 2 * 2 * 2 * 2 = 16
De första som tänkte i dessa banor, som alltså funderade
över hur man skulle kunna värdera påståendes sanningsvärde, var
stoikerna.
Grundsatser:
För satslogiken gäller följande axiom eller grundsatser:
Dessa grundsatser eller axiom är förutsättningarna för alla de logiska slutsatser
man kan dra deduktivt.
| Alla giltiga deduktiva slutsatser är tautologa |
Härledningsregler:
Vid sidan av axiomen finns vissa härledningsregler, som man
använder sig av när man utför deduktioner. Några av dessa är:
| Introduktion av dubbel negation
Förkortas: I--
Det snöar betyder samma som det är inte så att det inte snöar.
p = --p
|
| Elimination av dubbel negation
Förkortas: E--
Är föregående regels omvändning.
|
| Introduktion av konjunktion
Förkortas. I Ù
Om två företeelser gäller var för sig gäller de ihop.
p, q_
p Ù q
Det regnar, det snöar
Det regnar och snöar
|
| Elimination av konjunktion
Förkortas: E Ù
Alltså så att om två saker gäller så gäller var och en av dem för sig.
p Ù q
p
p Ù q
q
Det regnar och snöar
Det regnar
Det regnar och snöar
Det snöar
|
| Introduktion av disjunktionen
Förkortas I v
Om jag pluggar logik så är det sant att jag antingen pluggar logik eller tittar på tv.
Jag pluggar logik___
Jag pluggar logik eller tittar på tv
p___
p v q
|
| Eliminering av disjunktionen
Förkortas: E v
Om det ena ledet i disjunktionen är falskt så måste det andra vara sant:
p v q
- q___
p
eller omvänt:
p v q
- p__
q
Det regnar eller snöar
Det snöar inte______
Det regnar
|
| Modus Ponens
Förkortas: MP
p Þ q
p___
q
Om det regnar på mig, så blir jag blöt
Det regnar på mig________________
Jag blir blöt
|
| Modus Tollens
Förkortas: MT
p Þ q
-q____
-p
Om det regnar på mig, så blir jag blöt
Jag blir inte blöt__________________
Det regnar inte på mig
|
Slutligen något om nödvändiga och tillräckliga villkor:
Observera att nödvändiga villkor inte är tillräckliga. Det är ett
nödvändigt villkor att det finns bensin för att bilen ska kunna gå men det krävs
annat också. Detta diskuteras också i avsnittet om vetenskapsteori.
Nu kan det vara dags att praktisera. Genom länken till vänster kommer du till
övningar där du stegvis kan tillämpa en del av det du nu läst igenom. Det viktigaste
är att du får en uppfattning om själva grundtanken med att översätta vardagsspråket
till satslogiska formler.
Använd dig av:
| satsvariabler |
| konnektiv |
| sanningsfunktioner |
| härledningsregler |
| nödvändiga och tillräckliga villkor |
Boktips
Vill du ytterligare fördjupa dig kan jag rekommendera en utmärkt bok som har givit
mig många goda uppslag och där du kan finna rader av övningar med lösningar. Det är:
Bertil Mårtensson, Logik - en introduktion, Studentlitteratur
ISBN 91-44-26142-´
|
